Der TI-89 oder wie kann man die Kreiszahl Pi ermitteln?

Der nachfolgende Artikel dient zum einen als persönliches Notizbuch für mich und zum anderen als grober Rahmen für die Idee, wie man in einer konkreten Aufgabe jede Menge Wissen vermitteln kann. Ein alter, auf eBay für knapp 20,- Euro ersteigerter, TI-89 war der Anlass.

Beispiel für eine mögliche Aufbereitung eines Schulunterrichts

Wissensvermittlung funktioniert viel besser, wenn man sie mit dem Lösen eines konkreten Problems verbindet. Bei dieser Herleitung von Pi kann man so viele interessante Teilgebiete der Mathematik kennenlernen: Aufbereitung eines Problems auf einem Stück Papier, Ausdrücke, Formeln, Kreisformel, Dreiecke, Pythagoras, Taschenrechner, Programmierung, Iteration und Pi selbst. Warum nicht einmal in der Schule ein halbes Jahr nur Pi berechnen und dabei so viel lernen?

Ein paar Anmerkungen zum TI-89

Abgesehen von nicht funktionierender seriellen Schnittstelle und einer nicht funktionierenden Kommataste – welches ich aber beides reparieren konnte – funktionierte der Rechner einwandfrei. Beide Schäden ließen sich auf ausgelaufene Batterien zurück führen und haben nichts mit der Konstruktion des Rechners zu tun. Aus dem äußeren Zustand ließ sich schließen, dass dieser Rechner ein sehr hartes Schülerleben hinter sich hatte. Bestimmt ist er dutzende Male gefallen, ist in Schulranzen zwischen harten Büchern eingequetscht gewesen, einzelne Tasten sind mit einem Messer malträtiert worden, beim winterlichen Eishockey ist er als Puck missbraucht worden und hat mindestens ein Schlammbad hinter sich. So sah er jedenfalls aus. Aber das Display hatte keinen Kratzer und war besser abzulesen, als bei einem neueren TI-89 Titanium!

Erste Erkenntnis: Der TI-89 ist wirklich für die Schule gebaut worden und kann einiges wegstecken!

Für die, die den TI-89 nicht kennen: Dieser Taschenrechner ist ein Füllhorn voller mathematischer Fähigkeiten, wovon die faszinierendste das eingebaute Computer Algebra System (CAS) ist. Daneben besitzt er aber auch scheinbar ganz simple Dinge, die einem den Umgang mit Rechenproblemen aller Art ziemlich vereinfachen können. Dazu gehört zum Beispiel das eingebaute PrettyPrint-System, welches eingegebene Ausdrücke so darstellt, wie sie auch in einem Mathematikbuch zu sehen sind.

Eine andere, nicht zu unterschätzende, Funktion ist der automatische Protokoll-Vorgang. Jeder eingegebene Ausdruck wird in einer Liste gespeichert, deren aktuellster Ausschnitt auf der Anzeige zu sehen ist. Das heißt, man hat, ähnlich wie wenn man auf einem Blatt Papier arbeiten würde, immer die letzten Berechnungen im Blick und kann somit einen Überblick über seine Arbeit behalten. Man kann auch schon eingegeben Ausdrücke zur nochmaligen Bearbeitung heranziehen.

Im nachfolgenden Text werde ich gelegentlich Screenshots zeigen, die auf diesem Protokoll basieren, und die manchmal auch den Einsatz des CAS zeigen.

Und weil wir gerade dabei sind: Der TI-89 wird mit 4 AAA-Zellen betrieben und kann damit ziemlich lange auskommen. Dies, und seine Stabilität, machen ihn zu einem idealen Taschenrechner für die Schule. Heutzutage kann man sich allerdings fragen, warum man nicht einen Netbook mit MuPad oder einem anderen kostenlosen CAS verwendet? Dies lässt sich einfach beantworten: Netbooks kommen selbst in günstigen Fällen kaum über 5 Stunden Betrieb hinaus und sind weder so leicht, noch so widerstandsfähig wie der TI-89. Darum kann es durchaus sein, dass sie in entscheidenden Momenten (Klassenarbeit, Abitur) ihren Dienst versagen. Allerdings könnten Entwicklungen wie der OLPC das ändern. Andererseits gibt es den schon lange und bisher hat er sich hierzulande kaum etablieren können…

Die Berechnung von Pi

Basis für diese Betrachtung ist die Annahme, dass man sich den Umfang eines Kreises aus sehr vielen einzelnen Geraden zusammengesetzt vorstellen kann. In der Zeichnung ist dies verdeutlicht. Man sieht einmal die Gerade ’sa‘ in brauner Farbe, sie ist Bestandteil eines 6-Ecks und zum anderen die Gerade ’sn‘ in türkiser Farbe, sie ist Bestandteil eines 12-Ecks. Schon hier kann man erkennen, dass sich die Gerade ’sa‘ des 12-Ecks  näher an den tatsächlichen Kreis anschmiegt, als die Gerade ’sa‘ des 6-Ecks.

Teil 1 meiner schriftlichen Aufzeichnungen zum Verständnis der Berechnung von Pi. Anhand dieser Aufzeichnungen habe ich diesen Artikel geschrieben. Das Wichtigste ist die links oben zu sehende Überlagerung zweier türkis gezeichneter Dreiecke des 12-Ecks auf dem braun gezeichneten Dreieck eines 6-Ecks.

Erst einmal ist wichtig, dass die Anzahl der Geraden, multipliziert mit der Länge der Geraden einen ungefähren Umfang des Kreises ergeben! Und es gibt eine Formel für den Kreisumfang (die kennt eigentlich jeder), die dabei die Beziehung zwischen Radius und Umfang regelt:

U = 2 * Pi * r, wobei ‚r‘ der Radius ist. Stellt man sie nach p um, kommt folgendes heraus:

Also: Pi = u/(2*r)

Wenn wir sie anwenden, also den Umfang durch 2*Radius teilen, bekommen wir die Zahl Pi heraus! Oder jedenfalls ungefähr. Wir haben also eine Formel mit deren Hilfe wir mit zwei Parametern den Wert von Pi berechnen können!

Beim Betrachten des Bildes wird auch schnell klar, dass dieses ungefähre Pi vermutlich genauer wird, wenn man die Anzahl der Ecken erhöht! Wäre die Anzahl der Ecken unendlich hoch, so ist vermutlich die damit berechnete Zahl Pi ‚unendlich‘ genau.

Bis hier hin hatte ich das auch schon früher verstanden. Aber wie nun konkret weiter?

Wenn man wirklich einen konkreten Zahlenwert für Pi über die Formel für den Umfang eines Kreises ausrechnen will, dann benötigt man einen konkreten Wert für den Radius.

Das Problem ist, das man irgendwie einen Anfang benötigt.

Und da kommt das 6-Eck ins Spiel. Man kann es so in den Kreis hinein bringen, das alle Ecken an den Umfang stoßen. Der ‚Naben-Winkel‘ jedes einzelnen Dreiecks muss 60 Grad betragen, denn alle zusammen sind 6*60 = 360 Grad. Wie wir wissen, gibt 360 Grad einen vollen Kreis. Es passt also. Bleiben noch die beiden anderen Winkel jedes einzelnen Dreiecks: Wenn der Naben-Winkel 60 Grad ist, bleiben für die beiden anderen Winkel im Dreieck 120 Grad, denn die Summe der Winkel in einem Dreieck ist ja – wie jeder weiß – 180 Grad! Da die beiden Seiten eines jeden Dreiecks vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Umfang gleich lang sein müssen, sind auch die sich dadurch ergebenden Winkel gleich groß, also 120 Grad dividiert durch 2 = 60 Grad!

Also 3*60 Grad, ein gleichseitiges Dreieck! Das bedeutet, dass die für uns interessante Seite beim 6-Eck genauso lang wie der Radius ist! Schon beim 7-Eck wäre sie das nicht mehr.

Aber was für einen Wert nimmt man jetzt für den Radius? Warum nicht die Zahl 1? Mit der lässt es sich einfach rechnen und es ist sofort klar, dass, wenn der Radius 1 beträgt, die Gerade ’sa‘ gleichfalls 1 sein muss. Der Umfang ist dann 6 Mal die Länge der Gerade, also 6*1 = 6!

Damit berechnen wir beim 6-Eck mit der Formel

Pi = u/(2*r) = 6/(2*1) = 3

Na ja, noch ein wenig sehr ungenau, aber es geht doch irgendwie in die Richtung Pi!

Damit haben wir einen Anfang gemacht und erste konkrete Zahlen ermittelt!

Wir haben aber auch gesehen, dass der Wert noch sehr ungenau ist und wir unbedingt die Zahl der Ecken erhöhen müssen, um auf einen genaueren Wert zu kommen. Wir könnten es ja einmal mit einem 10-Eck probieren? Beim 10-Eck haben wir aber das Problem, dass sich die Gerade ’sa‘ nicht mehr so einfach wie beim 6-Eck berechnen lässt. Die Gerade ist beim 10-Eck nicht gleich dem Radius!

Was ist mit einem 12-Eck? Da ist die Gerade natürlich noch weniger gleich dem Radius. Im Gegenteil, um so mehr Ecken, um so mehr weicht die Länge der Gerade vom Radius ab. Aber dafür gibt es eine andere Besonderheit: Legt man das 12-Eck genau so ins 6-Eck, dass jedes zweite Eck des 12-Ecks deckungsgleich mit einem Eck des 6-Ecks ist, so ergeben sich einige virtuelle Geraden, die miteinander in Beziehung stehen. Unsere Seite ’sa‘ teilt nämlich jeweils 2 12-Eck Dreicke so auf, dass sich aus jeweils einem 12-Eck Dreieck zwei ergeben. Ein relativ großes und ein ziemlich kleines, welches man im ersten Moment gar nicht so richtig wahr nimmt. 😉

Das Interessante ist nun, dass es für die so entstandenen Beziehungen ein paar Formeln gibt, mit deren Hilfe man die Länge einer 12-Eck Kante berechnen kann! Die sind im Grunde auch gar nicht kompliziert und basieren komplett auf dem Satz des Pythagoras.

c^2 = a^2 + b^2

Um diese Formeln jetzt richtig anzuwenden, bedarf es folgender Erkenntnisse bzw. Überlegungen: Die Hypothenuse des kleinen Dreiecks ist die gesuchte Länge (die wir im weiteren Text ’sn‘ nennen werden), die mit ihrer Anzahl multipliziert, unseren – für die Berechnung von Pi – angenäherten Umfang ergibt. Man kann sie ausrechnen, wenn man die Länge der beiden Seiten des kleinen Dreiecks kennt.

Eine davon ist leicht zu ermitteln: Es ist die Hälfte der Länge einer Kante des 6-Ecks! Die jetzt noch fehlende Seite, das winzige Stück des kleinen Dreiecks, ist der Radius unseres Kreises minus der Höhe eines der 6-Eck Dreiecke.

Die Höhe können wir mit dem Satz des Pythagoras ermitteln, wenn wir die Grundformel so umstellen, dass wir eine der Seiten berechnen können:

Hier ist eines der faszinierenden CAS-Features des TI-89 zu sehen. Mit Hilfe des Befehls ’solve‘ stellt der Taschenrechner die Formel automatisch um. Das klitzekleine Minus ignoriere ich jetzt einfach einmal. Die Formel für die Seite ist also:

b = sqrt(c^2 – a^2)

und wenn wir h = b sagen, dann

h = sqrt(c^2 – a^2)

Unser a ist aber die Hälfte von ’sa‘ und unser c ist der Radius, darum können wir auch schreiben:

h = sqrt(r^2 – (’sa’/2)^2)

Ok, jetzt haben wir h. Wir benötigen aber ’sn‘. Ein zweites mal kommt der Pythagoras zum Einsatz. Diesmal müssen wir die Formel so umstellen, dass nicht eine der Seiten, sondern die Hypotenuse berechnet werden kann:

c = sqrt(a^2 + b^2)

Dieses c ist unsere gesuchte Länge! Für a setzen wir ’sa’/2 ein und für b den Radius minus der Formel für h. Wenn wir das machen, sieht die dadurch neu entstehende Formel so aus:

Zu diesem Screenshot gibt es noch etwas Besonders zu bemerken: Siehe Anhang.

Man kann dem TI-89 nun tatsächlich echte Werte für ’sa‘ und ‚r‘ zuordnen:

und dann die Formel auswerten lassen:

Dieser Wert ist nun die Länge einer Kante eines 12-Ecks! Setzen wir diesen Wert in unsere schon bekannte Formel vom Anfang ein:

Pi = u/(2*r) = (12*0.5176380902051)/(2*1) = 3.10582854123

Dann erhalten wir eine Zahl, die schon wesentlich näher an Pi dran ist!

Teil 2 meiner schriftlichen Aufzeichnung. Hier sieht man die zusammengesetzte Formel für die Länge einer Kante eines Vielecks, samt konkret ausgerechneter Werte für das 12-Eck. Und zwei Fragen, die bei mir, trotz des Verständnisses der geographischen Gegebenheiten, anschließend aufkamen.

Iteration

Der Weg scheint also Ok zu sein. Jetzt wird vielleicht auch die Verwendung meiner beiden Formelnamen klarer: ’sa‘ und ’sn‘ stehen für ‚Strecke alt‘ und ‚Strecke neu‘! Man kann also ’sn‘ nur berechnen, wenn man ein ’sa‘ hat! Und es funktioniert auch nur dann, wenn man davon aus geht, dass das ’sn‘ immer auf einem Tortenstück eines Vielecks basiert, welches genau nur einen halb so großen Winkel hat, wie das für ’sa‘ zuständige Stück! Also ein Vieleck, welches doppelt so viele Ecken hat wie das vorhergehende.

Um jetzt noch genauer zu werden, könnte man die Formel erneut für ein 24-Eck berechnen. Und dann für ein 48-Eck. Und dann für ein 96-Eck. Und immer so weiter. Aber wer will so etwas schon immer wieder ausrechnen? Dies ist ein schönes Beispiel für eine Iteration. Man nähert sich einer Lösung schrittweise durch den Einsatz einer sich wiederholenden Berechnung!

Aber wer will schon so viel rechnen, wenn es doch Computer gibt, die das auch können? Ja, und der TI-89 ist doch eigentlich auch ein Computer, der müsste doch programmierbar sein? Ist er natürlich auch. Darum können wir ein kleines Programm schreiben, welches dieses iterative Berechnen übernimmt. Das Programm sieht so aus:

Prgm
Local s,n,i
1 -> s
12 -> n
For i,1,20
approx(sqrt((1-sqrt(1-(s/2)^2))^2+(s/2)^2)) -> s
Disp approx(n*s/2)
n*2 -> n
EndFor
EndPrgm

Dabei gibt es eine Besonderheit: Wie ich schon einmal weiter oben geschrieben habe, besitzt der TI-89 ein eingebautes CAS. Dies ist nicht nur einfach eine tolle Funktion wie bei anderen Taschenrechnern zum Beispiel der ‚Solver‘ (den der TI-89 übrigens auch besitzt), sondern der Rechner arbeitet grundsätzlich völlig anders als ein herkömmlicher Taschenrechner. Er ist zum Beispiel sehr bemüht immer ein völlig exaktes Ergebnis zu liefern. Das bedeutet oft, dass er zum Beispiel einen Bruch als Ergebnis zeigt, obwohl man eigentlich eine Kommazahl erwartet hat. Ich will da jetzt im Detail nicht darauf eingehen.

Für das kleine Programm oben bedeutet es aber folgendes: Würde man in der Programmzeile, die mit ‚approx‘ beginnt, dieses approx weg lassen, so würde der TI-89 an der Stelle der Variablen ’s‘ nicht den von der Formel berechneten numerischen Wert zuordnen, sondern den kompletten Ausdruck! Dies führt zu zweierlei: Er ersetzt also ’s‘ in der Formel durch den Ausdruck selbst! Der Ausdruck wird dadurch während des Programmlaufs innerhalb von Sekunden immer größer und die Berechnung von Pi in der nächsten Zeile dauert immer länger! Probiert es einmal aus: Lasst bei Euren eigenen Versuchen das ‚approx‘ einmal weg.

Mit ‚approx‘ speichert der TI-89 aber nur den tatsächlich berechneten Wert in ’s‘ und das Programm liefert zügig einen immer genaueren Wert für Pi. Leider hört der Spaß nach etwa 18 Iterationen auf, da der TI-89 dann am Ende seiner Rechnengenauigkeit für numerische Werte angekommen ist. Der berechnete Wert ist dann identisch mit dem gespeicherten Wert für Pi.

Abschließende Überlegungen

Ursprünglich hoffte ich bei der Beschäftigung mit der Berechnung von Pi auf ein Verfahren, welches unaufhörlich immer weitere Stellen von Pi liefert. Das ist leider mit dem hier beschriebenen Verfahren nicht möglich, da es nur bis zur Grenze der Rechengenauigkeit des TI-89 funktioniert. Das ich aber jetzt überhaupt einmal eine Methode, Pi zu berechnen, verstanden habe, fand ich es trotzdem sehr interessant!

Man sieht hier im Artikel nur eine relativ saubere Herleitung. Man sieht nicht, wie ich während der Beschäftigung mit Pi mit dem TI-89 gearbeitet habe. Dabei immer wieder einzelne Werte ausgerechnet habe oder Formeln umstellen habe lassen. Dabei hat der TI-89 immer alles fein in sein Protokollspeicher geschrieben und ich konnte es immer wieder ansehen oder wieder zur Bearbeitung zurück holen. Das hat beim Verstehen sehr geholfen und es hat viel  Spaß gemacht, so mit dem TI-89 zu arbeiten.

Diesen sehr alten TI-89 gibt es heutzutage nur noch bei eBay. Der Nachfolger, der TI-89 Titanium, wird aber immer noch vertrieben. Er ist weitgehend identisch mit dem alten TI-89. Allerdings hat er, in meinen Augen, einen Nachteil: Er sieht schon nicht mehr ganz so ‚taschenrechnertypisch‘ aus. Wer den alten TI-89 mit einer ‚herkömmlichen‘ Vorstellung von den Funktionen eines Taschenrechners betrachtet, kommt niemals auf die Idee, welche nahezu unglaubliche Leistungsfähigkeit dahinter steckt. Der TI-89 ist auch kein Rechner im herkömmlichen Sinn, rechnen tut der TI-89 nur nebenbei, nein, dieses Teil besitzt ein Wissen über Mathematik, welches man vor ein paar Jahrzehnten niemals einem Taschenrechner zugetraut hätte. Wahrlich ein ‚Wolf im Schafspelz‘!

Das ist wird noch mehr deutlich, wenn man den TI-89 mit dem TI-83 Plus vergleicht. Sie haben nämlich ein nahezu identisches Gehäuse. Die äußeren Abmessungen sind gleich, nur im Inneren gibt es wohl ein paar kleine Unterschiede. Allerdings hat der TI-83 Plus ein geringer auflösendes Display. Das ist zum einen schlecht, da weniger Informationen untergebracht werden können und Graphen  nicht so fein aufgelöst werden, hat zum anderen aber den Vorteil, dass die Zahlen größer dargestellt werden und der Kontrast etwas besser ist. Die physische Anordnung der Tasten ist absolut identisch! Trotzdem sind die beiden unvergleichbar. Der TI-83 Plus hat schlicht und einfach kein eingebautes CAS! Und das ist ein Unterschied wie Tag und Nacht.

Für mich ist der TI-89 so etwas wie ein ‚Schweizer Taschenmesser‘ oder ein ‚Leatherman‘. Hat man eines von denen in der Tasche, so glaubt man wesentlich besser für kleine oder große Probleme des Alltags gerüstet zu sein! Und ich glaube, dass ich mit so einem TI-89 für die kleinen oder großen Probleme der Mathematik oder Informatik, ein wenig besser gerüstet bin. 😉

Betrachtet man die aktuelle Produktlinie bei Texas Instruments, so kann man den Eindruck gewinnen, dass TI gar nicht mehr so sehr daran interessiert ist, solche Werkzeuge herzustellen. Die TI-Inspire Linie von TI scheint mehr darauf ausgelegt zu sein, ganz spezifisch bestimmte Unterrichtsmethoden zu unterstützen. Noch dazu sind die neuesten Geräte von TI mit einem stromfressenden Farbdisplay und einem Akku ausgestattet. Erstens frage ich mich (besonders wenn der Akku schon ein bisschen älter ist), ob die nicht im entscheidenden Moment während einer Klausur oder dem Abi gerade leer werden? Und zweitens kann ich mir nicht vorstellen, dass man so ein Gerät nach 10 Jahren aus der Schublade zieht, ein paar AAA Zellen hinein legt und sofort wieder damit arbeiten kann.

Anhang

Hail und EQW

Der im Text extra gekennzeichnete Screenshot ist nicht auf Basis der Standard-Funktionen des TI-89 entstanden! Der TI-89 kann zwar Ausgaben in ‚PrettyPrint‘ vornehmen, aber leider ist es nicht möglich, Ausdrücke direkt in dieser Form einzugeben! Glücklicherweise gibt es unabhängige Programmierer, die sich dieses Problems angenommen haben. Es gibt mindestens zwei Programme, die es ermöglichen, direkt PrettyPrint-Ausdrücke einzugeben: Hail und EQW.

Bei meinen Recherchen habe ich den Eindruck gewonnen, dass aus EQW auch irgendwann einmal eine spezielle Flash App (‚eqw.89k‘) für den TI-89 entstanden ist, die es auch direkt bei Texas Instruments zu kaufen oder zumindest downzuloaden gab. Da es momentan immer noch Flash Apps zum Download gibt, diese spezielle und meiner Meinung nach auch sehr interessante Flash App aber nicht mehr, bin ich darüber sehr verwundert. Wer die Geschichte dahinter kennt, soll sie mir doch bitte einmal mitteilen.

Hail habe ich nicht richtig ausprobiert, es hat aber beim kurzen Test einen sehr guten Eindruck hinterlassen. Jedenfalls ist so ein PrettyPrint Eingabesystem eine sehr sinnvolle Ergänzung für den TI-89!